数学的帰納法の練習問題 解答
皆さん、こんにちは。
ハーバードです(^_^)v
まずは、前回の数学的帰納法の練習問題の解答を載せます。
問題こちら↓↓
練習問題の解答
（ⅰ）ｎ＝１のとき、
左辺＝
右辺＝
よって、ｎ＝１のとき成り立つ。
（ⅱ）ｎ＝ｋのとき、与えられた等式が成り立つと仮定すると、
・・・①
となる。ここで、両辺にを加えると、
よって、ｎ＝ｋ+１のときにも、成り立つ。
（ⅰ）（ⅱ）より、すべての自然数ｎについて成り立つ。//
ついでに、他の問題も載せておきます。
数学的帰納法の証明問題１
次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし、ｎは自然数である。
数学的帰納法の練習問題２（応用）
次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし、ｎは２以上の整数、ｘ＞０ である。
＞
解答は、後日！！
「数学的帰納法」でなぜ証明ができるのか？ 解説
みなさん、こんにちは。
ハーバードです(^_^)v
先日、私の生徒が、「数学的帰納法を使うと何で証明できるのか？」と、尋ねてきました。私は、この生徒以外にも疑問に思っている人がいるのではないか、と思い記事にしました。
まず皆さんは、数学的帰納法がどのような証明方法かご存知でしょうか？
１．数学的帰納法とは？
数学的帰納法とは、自然数ｎ（n = 1,2,3,・・・）についての命題P(ｎ)において、
（１）n = 1 のときに、成り立つ。
（２）n = k のときに、成り立つと仮定すると、n = k + 1 のときにも成り立つ。
この（１）、（２）が、証明できれば、すべての自然数で、命題P(ｎ)が成り立つ。
これが、数学的帰納法です。
この説明を聞いてもわかりにくいと思うので、例題を見てみましょう。
２．数学的帰納法の例題と練習問題
例題
次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし、ｎは自然数である。
・・・①
解答
（ⅰ）n=1 のとき、
左辺 = 1
右辺 = = 1
よって、n=1 のとき、①は成り立つ。
（ⅱ）n=k のとき①が成り立つと仮定すると、
・・・②
ここで、②の両辺にk+1 を加えると、
・・・③
これは、n=k+1 のときにも①が成り立つことを示している。
（③は①の右辺の n に k+1 を代入したものと同じ）
（ⅰ）（ⅱ）より、すべての自然数ｎで①が成り立つ。//
ついでに練習問題も載せておきましょう。
練習問題
次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし、ｎは自然数である。
解答は後日載せます！！
では、数学的帰納法がなぜ成り立つのか、その解説をします。
３．数学的帰納法がなぜなりたつのかー解説
ずばり、一言でいうと、「ドミノ」です。
まず、数学的帰納法では、ｎ＝１のとき成り立つこと示します。
そして、ｎ＝ｋのとき成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ+１でも成り立つことを示します。
ここで、ｋに「１」を代入してみましょう。
要するに、ｎ＝ｋ＝１が成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ+１＝２でも成り立つ。
ｎ＝１で成り立つことは、計算で分かっているため、ｎ＝ｋ＝１が成り立つのは、仮定ではなく真実となります。よって、ｎ＝ｋ+１＝２でも成り立つ。ということがわかります。
もう、皆さんお分りいただけたでしょうか？
ｎ＝ｋ+１＝２でも成り立つ。
ということは、ｋ＝２で①が成り立つことは、仮定ではなく真実となり、ｋ＝２のときのｋ+1である３でも①は成り立つ、・・・
といった具合に、どんどん成り立っていく、まさに「ドミノ式の証明」なのです。
なので数学的帰納法では、最初にｎ＝１で成り立つことを示し、ｎ＝ｋで成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ+1でも成り立つということを、示す必要があるのです。
なぜ勉強をしなければいけないのか？勉強する意味・理由 Part1 【高校生・大学生】
こんにちは。ハーバードです(^_^)v
今回は、「そもそもなんのために勉強しなければいけないのか」を
私なりに書きたいと思ます。
１．はじめに言っておきたいこと。
皆さんは、お父さんやお母さんに「勉強しなさい！！」としつこく言われていませんか？ そういう方は、一度、両親に「なんで？」と尋ねてみてください（笑）
おそらくほとんどの方が、「良い高校・大学に行くため」、「一流企業に就職するため」などと回答してくるでしょう。しかし勉強の目的は、それでいいのでしょうか？
私はそうは思いません！！
なぜなら、これは「考えることを放棄した目的」であるからです。なんとなく社会では、良い高校・大学に行き、一流企業に就職して、汗水垂らしながら必死に頑張って、出世して・・・・・という人生が素晴らしい！！と考えられています。本当に将来のことを考えた上で、あなたもそう思うなら、それで構いません。が、ほとんどの人は、みんながそう言っているから、それが幸せなんだろう！と思いこんでいます。
しかし、このような、いわゆる成功者と思われている人のほとんどが40歳、50歳になったときにふと感じます。
「あれ？自分はいったい何のために、必死に頑張って、出世したんだろう。」「こんな人生のために今まで頑張ってきたのか？」と…。
なぜ、このように思うのか。答えは簡単です。
自分の人生について深く考えることを放棄し、世間一般が考える「幸せ」に合わせて生きてきたからです。厳しいことを言えば、その人の4、50年の人生は、中身が空っぽだということです。
それでも、出世してたくさんお金をもらえればいいじゃないか！と、思うかもしれません。しかし、出世した人がもらえるお金は、企業によって違いますが、同期入社した人と比べても年間100万円多いくらいでしょう。それよりも、背負う責任や休日出勤、社員の管理など割に合わないことが多くなります。
長々と書いてしまいましたが、要するに世の中のほとんどの人が、将来のことを深く考えずに生きていて、世間一般の考える「理想の人生」に合わせているということです。
じゃあ何のために勉強するのか？
このことについては次回書きたいと思います。
それでは(^^)/
はじめまして！塾講師のハーバードです(^_^)v
はじめまして！！
塾講師のハーバードです(#^^#)
今回は、記念すべき第１回目の投稿です！！
これから、中学生や高校生の皆さん、成績が伸び悩んでいるお子さんがいる親御さんが少しでも役に立ったなー、と思ってもらえるように頑張りたいと思っています。
１日１回は投稿しようと思いますのでみなさんよろしくお願いします。
