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「数学的帰納法」でなぜ証明ができるのか？　解説

みなさん、こんにちは。

ハーバードです(^_^)v

 

先日、私の生徒が、「数学的帰納法を使うと何で証明できるのか？」と、尋ねてきました。私は、この生徒以外にも疑問に思っている人がいるのではないか、と思い記事にしました。

 

 

 

まず皆さんは、数学的帰納法がどのような証明方法かご存知でしょうか？

１．数学的帰納法とは？

数学的帰納法とは、自然数ｎ（n = 1,2,3,・・・）についての命題P(ｎ)において、

（１）n = 1 のときに、成り立つ。

（２）n = k のときに、成り立つと仮定すると、n = k + 1　のときにも成り立つ。

この（１）、（２）が、証明できれば、すべての自然数で、命題P(ｎ)が成り立つ。

 

これが、数学的帰納法です。

 

この説明を聞いてもわかりにくいと思うので、例題を見てみましょう。

 

２．数学的帰納法の例題と練習問題

例題　

次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし、ｎは自然数である。

1+2+3+・・・+n=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)　・・・①

 

解答

（ⅰ）n=1 のとき、

　左辺 = 1

　右辺 = \displaystyle\frac{1}{2}×1(1+1)= 1

　よって、n=1 のとき、①は成り立つ。

（ⅱ）n=k のとき①が成り立つと仮定すると、

　1+2+3+・・・+k=\displaystyle\frac{1}{2}k(k+1) 　・・・②

  ここで、②の両辺にk+1 を加えると、

   1+2+3+・・・+k+(k+1)=\displaystyle\frac{1}{2}k(k+1)+(k+1) 

                                                   =\displaystyle\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}

                                                   =\displaystyle\frac{(k+1)(k+2)}{2}

                                                   =\displaystyle\frac{1}{2}(k+1)(k+2)　・・・③

 これは、n=k+1 のときにも①が成り立つことを示している。

 （③は①の右辺の n に k+1 を代入したものと同じ）

（ⅰ）（ⅱ）より、すべての自然数ｎで①が成り立つ。//

 

ついでに練習問題も載せておきましょう。

 

練習問題

次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし、ｎは自然数である。

1+2+2^{2}+・・・+2^{n-1}=2^{n}-1

 

解答は後日載せます！！

 

では、数学的帰納法がなぜ成り立つのか、その解説をします。

 

３．数学的帰納法がなぜなりたつのかー解説

ずばり、一言でいうと、「ドミノ」です。

まず、数学的帰納法では、ｎ＝１のとき成り立つこと示します。

そして、ｎ＝ｋのとき成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ+１でも成り立つことを示します。

 

ここで、ｋに「１」を代入してみましょう。

要するに、ｎ＝ｋ＝１が成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ+１＝２でも成り立つ。

ｎ＝１で成り立つことは、計算で分かっているため、ｎ＝ｋ＝１が成り立つのは、仮定ではなく真実となります。よって、ｎ＝ｋ+１＝２でも成り立つ。ということがわかります。

もう、皆さんお分りいただけたでしょうか？

ｎ＝ｋ+１＝２でも成り立つ。

ということは、ｋ＝２で①が成り立つことは、仮定ではなく真実となり、ｋ＝２のときのｋ+1である３でも①は成り立つ、・・・

といった具合に、どんどん成り立っていく、まさに「ドミノ式の証明」なのです。

 

なので数学的帰納法では、最初にｎ＝１で成り立つことを示し、ｎ＝ｋで成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ+1でも成り立つということを、示す必要があるのです。