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数学的帰納法の証明問題１、２の解答

こんにちは。

ハーバードです(^_^)v

 

今回は、前回の2つの証明問題の解答を載せたいと思います。

 

 

 

 前回の記事はこちら↓↓

hanamaru-odt.hatenablog.com

 また、今回の記事のことが、あまり理解できなかった方は、

下記の記事を見てください。↓↓

 

hanamaru-odt.hatenablog.com

 

 

数学的帰納法の証明問題１

次の等式が成り立つことを証明せよ。たたし、ｎは自然数である。

1・2+2・3+3・4+・・・+n(n+1)=\displaystyle\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)

 

解答

（ⅰ）ｎ＝１のとき、

　左辺=1・2=2

　右辺=\displaystyle\frac{1}{3}×1(1+1)(1+2)=2

  したがって、ｎ＝１のとき、与えられた等式は成り立つ。

（ⅱ）ｎ＝ｋのとき、成り立つと仮定すると、

　1・2+2・3+3・4+・・・+k(k+1)=\displaystyle\frac{1}{3}k(k+1)(k+2)　・・・①

 となる。このとき、①の両辺に(k+1)(k+2)を加えると

　1・2+2・3+3・4+・・・+k(k+1)+(k+1)(k+2)

                                                     =\displaystyle\frac{1}{3}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)

                                                     =(k+1)(k+2)(\displaystyle\frac{1}{3}k+1)

                                                     =\displaystyle\frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)

よって、ｎ＝ｋ+1のときも、成り立つ。

（ⅰ）（ⅱ）より、すべての自然数ｎについて成り立つ。//

 

数学的帰納法の証明問題２

次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし、ｎは２以上の整数、ｘ＞０ である。

(1+x)^{n}＞1+nx

 

解答

（ⅰ）ｎ＝２のとき、

　　左辺=(1+x)^{2}=1+2x+x^{2}

　　右辺=1+2x

　　ｘ＞０より、ｎ＝２のとき、与えられた等式は成り立つ。

（ⅱ）ｎ＝ｋ（ｋ≧２）のとき、成り立つと仮定すると、

　　(1+x)^{k}＞1+kx　　・・・①

　　となる。このとき、①の両辺に（１+ｘ）をかけると、

　　(1+x)^{k+1}＞(1+kx)(1+x)

　　(1+x)^{k+1}＞1+(k+1)x+kx^{2}

　　ここで、ｋは自然数、x^{2}＞0より

　　kx^{2}＞0

　　よって、

　　(1+x)^{k+1}＞1+(k+1)x+kx^{2}＞1+(k+1)x

　　したがって、

　　(1+x)^{k+1}＞1+(k+1)x

　　すなわち、ｎ＝ｋ+1のときも、成り立つ。

（ⅰ）（ⅱ）より、２以上の整数ｎについて成り立つ。//

 

今回はここまでです！！