数学的帰納法の練習問題　解答 - 塾講師ハーバードの学習サポート

皆さん、こんにちは。

ハーバードです(^_^)v

まずは、前回の数学的帰納法の練習問題の解答を載せます。

問題こちら↓↓

（ⅰ）ｎ＝１のとき、

　左辺＝ $2^{1-1}=2^{0}=1$

　右辺＝ $2^{1}-1=1$

　よって、ｎ＝１のとき成り立つ。

（ⅱ）ｎ＝ｋのとき、与えられた等式が成り立つと仮定すると、

　 $1+2+・・・+2^{k-1}=2^{k}-1$ ・・・①

　となる。ここで、両辺に $2^{k}$ を加えると、

　 $1+2+・・・+2^{k-1}+2^{k}=2^{k}-1+2^{k}$

$=2^{k+1}-1$

　よって、ｎ＝ｋ+１のときにも、成り立つ。

（ⅰ）（ⅱ）より、すべての自然数ｎについて成り立つ。//

ついでに、他の問題も載せておきます。

次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし、ｎは自然数である。

$1・2+2・3+3・4+・・・+n(n+1)=\displaystyle\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし、ｎは２以上の整数、ｘ＞０である。

$(1+x)^{n}$ ＞ $1+nx$

解答は、後日！！